Il moto armonico
Definizione
Se un punto si muove di moto circolare uniforme, la sua proiezione su una retta si muove di moto armonico.
Grandezze Fondamentali
Le grandezze del moto armonico corrispondono esattamente a quelle del moto circolare uniforme:
f = 1 / T ⇔ T = 1 / f
ω = 2π / T = 2π · f
| Grandezza | Moto Circolare | Moto Armonico |
|---|
| Ampiezza (A) | Raggio della circonferenza | Massima distanza dal centro |
| Periodo (T) | Tempo per un giro | Durata di un ciclo completo |
| Frequenza (f) | Giri al secondo | Cicli al secondo |
| Pulsazione (ω) | Velocità angolare | Frequenza angolare |
La Legge Oraria dello Spostamento
Considerando la circonferenza di riferimento di raggio A, la posizione angolare varia come:
θ = ωt
Lo spostamento x dell'ombra vale:
x(t) = A · cos(θ)= A · cos(ωt)
All'istante t = 0 la pallina parte dall'estremo destro x = +A e oscilla continuamente tra A e -A.
La Velocità nel Moto Armonico
La velocità dell'ombra corrisponde alla componente orizzontale della velocità tangenziale:
v(t) = -vTsin(θ)=-vTsin(ωt)
Il segno meno è necessario per tenere conto del verso del vettore v.
Sappiamo che ne moto circolare uniforme si ha:
vT=ωA
quindi:
v(t) = - A ω · sin(ωt)
- Massima al centro: l'ombra transita con velocità massima A ω.
- Nulla agli estremi: l'ombra inverte il senso del moto e si arresta istantaneamente.
L'Accelerazione nel moto armonico
L'accelerazione dell'ombra corrisponde alla proiezione orizzontale dell'accelerazione centripeta:
aC= ω²A
quindi:
a(t) = -ω²A · cos(ωt)
Sappiamo che la legge oraria vale:
x(t) = A · cos(ωt)
quindi possiamo riscrivere l'equazione dell'accelerazione come:
a(t) = -ω²·x(t)
Il segno meno indica che l'accelerazione punta sempre verso il centro dell'oscillazione (forza di richiamo). È massima agli estremi e nulla al centro.
Circonferenza di Riferimento e Proiezione dell'Ombra P' (Asse x)
● Punto P (Moto Circolare)
● Ombra P' (Spostamento x)
━ Velocità v
━ Accelerazione a
Grafico delle Curve nel Tempo: x(t), v(t), a(t)
Tratteggi: Quarti di Periodo (T/4)
Tempo trascorso (t)
0.00 s
T = 6.00 s
Spostamento Ombra (x)
0.00 m
A = 4.00 m
Velocità Istantanea (v)
0.00 m/s
v_max = 4.19 m/s
Accelerazione (a)
0.00 m/s²
a_max = 4.39 m/s²
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